伯努利方程及应用

概述

伯努利方程是流体力学中的基本原理，描述了沿流线流动的稳态、不可压缩、无粘性流体的能量守恒。它将流体的静压、单位体积动能和单位体积势能联系起来。

关键公式

伯努利方程指出，沿流线的压力能、动能和势能之和恒定：

$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$

为了比较同一流线上的两个不同点（1 和 2），方程写成标准的两点形式：

$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

能量形式

原始 Engineering ToolBox 页面将伯努利方程表示为每单位质量的能量守恒：

$E = \frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + g h_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + g h_2 - E_{loss} = constant$

其中 $E$ 为单位质量能量，$p$ 为压力，$\rho$ 为流体密度，$v$ 为速度，$g$ 为重力加速度，$h$ 为高程，$E_{loss}$ 为单位质量机械能损失。在英制计算中，请记住 $1\ psi = 144\ psf$。

压头形式

除以重力得到以压头单位表示的伯努利方程：

$h = \frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + h_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + h_2 - \frac{E_{loss}}{g}$

其中 $\gamma = \rho g$。压力头始终取决于流动流体的密度；对于空气动压，水柱值通常根据空气密度单独计算。

动压

如果高程变化和损失可以忽略，伯努利方程可以写成静压加动压的形式：

$p = p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} - p_{loss} = p_1 + p_{d1} = p_2 + p_{d2} - p_{loss}$

动压为：

$p_d = \frac{1}{2}\rho v^2$

这是用皮托管测量速度以及文丘里段压力变化的基础。

变量

计算器

压力容器的排放

对于从水箱或压力容器通过出口的流动，原始页面重新整理伯努利方程以估算出口速度：

$v_2 = \left[\frac{2}{1 - A_2^2/A_1^2}\left(g h + \frac{p_1 - p_2}{\rho}\right)\right]^{1/2}$

对于具有大面积自由表面的通风水箱，$A_2/A_1$ 很小且 $p_1 = p_2$，因此表达式简化为托里拆利方程：

$v_2 = (2gh)^{1/2}$

加上流量系数 $c$ 后，实际出口速度为：

$v_2 = c(2gh)^{1/2}$

对于液位与压差相比可以忽略的加压容器：

$v_2 = c\left(\frac{2(p_1 - p_2)}{\rho}\right)^{1/2}$

减压阀的能量损失

如果节流阀两端的速度和高度变化很小，单位质量的机械能损失为：

$\frac{p_1}{\rho} = \frac{p_2}{\rho} + E_{loss}$

$E_{loss} = \frac{p_1 - p_2}{\rho}$

单位换算器

还原的原始源表

原始来源页面在共享站点控件（如搜索框和布局行）周围包含表格标记，但本文没有单独的工程数据表。这些部分的完整工程内容已在上方以公式、说明文字、计算器和保留的来源图片呈现。

原始源图

以下原始来源图像予以保留，以免丢失视觉参考资料。当图像包含图表或表格数据时，其提取值已呈现在页面的表格、计算器或交互式图表中；其余图像保留为视觉来源参考。

Bernoulli Equation

交互式伯努利图数据

工程要点

• 理想化假设：标准方程假定沿流线的流动为稳态、不可压缩且无黏。真实流体存在黏性损失（摩擦），因此扩展形式需包含压头损失项。
• 可压缩性：当流动马赫数超过约 0.3（Ma > 0.3）时，可压缩效应变得显著，不可压缩伯努利方程不再适用。
• 应用与限制：该原理可以解释升力和文丘里效应等现象，但若不计入能量的输入或输出，则不能跨流线应用，也不能直接用于泵或涡轮等机械设备。
• 管流：在管道系统工程中，伯努利方程通常与达西-魏斯巴赫方程结合使用，以计入摩擦压头损失。

参考资料

• Original Source