科爾布魯克方程

概述

Colebrook 方程式（又稱 Colebrook–White 方程式）是計算管道與風管紊流之 Darcy–Weisbach 摩擦因數的標準隱式關係式。此式同時考量黏性效應（透過雷諾數）與表面粗糙度，銜接 Moody 圖所描述的光滑管區與完全粗糙區。

由於摩擦因數出現在方程式兩側，無法以代數方式直接求解，必須進行數值迭代。

本頁說明管道、管件與風管中的摩擦損失係數。

關鍵公式

Colebrook 方程式（隱式）

$\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\,\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re\,\sqrt{f}}\right)$

Swamee–Jain 顯式近似式

適用於 $5\,000 \le Re \le 10^8$ 且 $10^{-6} \le \varepsilon/D \le 10^{-2}$ 的顯式近似式：

$f = \frac{0.25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon/D}{3.7} + \dfrac{5.74}{Re^{0.9}}\right)\right]^2}$

無法使用迭代求解器時，此形式適合用於試算表計算與程式設計。

壓降（Darcy–Weisbach）

求得 $f$ 後，主要水頭損失為：

$h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2\,g}$

變數

典型管道粗糙度值

鉚接鋼粗糙度： 兩個來源頁分別採用 0.9 mm 和 3.0 mm。它們是隨結構和狀態變化的參考值，不是通用常數；設計時應採用專案實測值或規定值。

摩擦因數與雷諾數的關係

下圖使用 Swamee–Jain 近似式，呈現三種相對粗糙度下摩擦因數隨雷諾數的變化。

單位換算器

還原的原始來源表

以下表格由原始來源頁面還原，以保留完整的參考資料。

快取來源頁面也包含非工程用途的版面配置／搜尋表格。為嚴謹保留來源表格，偵測到的資料列在下方重現；這些並非摩擦因數資料。

原始源圖

以下保留原始來源圖片，以免遺失視覺參考資料。若圖片包含圖表或表格資料，其擷取數值會呈現在本頁的表格、計算器或互動圖表中；其餘圖片則保留作為視覺來源參考。

Moody 圖的圖像已由上方依 Swamee-Jain 近似式產生的 Darcy 摩擦因數曲線圖互動呈現。下方仍保留靜態來源圖片作為視覺參考。

Moody 圖（SI）

工程要點

• 僅適用於紊流。 Colebrook 方程式只適用於紊流區（$Re \gtrsim 4\,000$）。層流（$Re < 2\,300$）應使用 $f = 64/Re$。
• 層流摩擦係數。 此處保留原始來源註記：完全發展的層流管流可直接以 $\lambda = 64/Re$ 計算摩擦係數。
• 需要迭代。 由於 $f$ 出現在方程式兩側，無法直接求解。常見數值方法包括 Newton–Raphson 法、定點迭代，以及上方所示的 Swamee–Jain 近似式。
• 過渡區注意事項。 在過渡粗糙區（$2\,300 < Re < 4\,000$），流動狀態不明確，摩擦因數預測的不確定性較高。
• 非圓形風管的水力直徑。 套用於矩形或非圓形截面時，應將 $D$ 改用水力直徑 $D_h = 4A/P$，其中 $A$ 為流動面積，$P$ 為濕周。
• 粗糙度老化。 上表粗糙度代表全新／潔淨狀態。腐蝕、結垢與生物污損會隨時間顯著提高 $\varepsilon$，進而增加摩擦因數與壓降。實務設計常採用比新管狀態高一級的粗糙度值。
• Moody 圖替代方法。 也可由 Moody 圖讀取摩擦因數；該圖繪出 $f$ 與 $Re$ 的關係，以及相對粗糙度 $\varepsilon/D$ 固定時的各條曲線。

參考資料

• Colebrook 方程式 — Engineering ToolBox