伯努利方程式及應用

概述

伯努利方程式是流體力學的基本原理，用來描述穩定、不可壓縮且無黏性流體沿流線流動時的能量守恆，並將流體的靜壓、單位體積動能與單位體積位能連結起來。

關鍵公式

伯努利方程式指出，沿同一流線的壓力能、動能與位能總和保持不變：

$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$

比較同一流線上的兩個不同測點（1 和 2）時，可寫成標準的兩點形式：

$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

能量形式

原始 Engineering ToolBox 頁面以單位質量能量守恆的形式呈現伯努利方程式：

$E = \frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + g h_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + g h_2 - E_{loss} = constant$

其中 $E$ 為單位質量能量，$p$ 為壓力，$\rho$ 為流體密度，$v$ 為速度，$g$ 為重力加速度，$h$ 為高程，$E_{loss}$ 為單位質量的機械能損失。進行英制計算時，請記得 $1\ psi = 144\ psf$。

水頭形式

除以重力後，即可得到以水頭為單位的伯努利方程式：

$h = \frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + h_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + h_2 - \frac{E_{loss}}{g}$

其中 $\gamma = \rho g$。壓力水頭一律取決於流動流體的密度；計算空氣速度壓力時，通常會依空氣密度另行換算水柱值。

動壓

若高程變化與損失可忽略，伯努利方程式可寫成靜壓加動壓的形式：

$p = p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} - p_{loss} = p_1 + p_{d1} = p_2 + p_{d2} - p_{loss}$

動壓為：

$p_d = \frac{1}{2}\rho v^2$

這是使用皮托管量測速度，以及分析文氏管段壓力變化的基礎。

變數

計算器

壓力容器的排放流量

針對從槽體或壓力容器經出口排出的流體，原始頁面將伯努利方程式重排，以估算出口速度：

$v_2 = \left[\frac{2}{1 - A_2^2/A_1^2}\left(g h + \frac{p_1 - p_2}{\rho}\right)\right]^{1/2}$

對具有大面積自由液面的通氣槽體而言，$A_2/A_1$ 很小且 $p_1 = p_2$，因此可簡化為 Torricelli 方程式：

$v_2 = (2gh)^{1/2}$

納入流出係數 $c$ 後，實際出口速度為：

$v_2 = c(2gh)^{1/2}$

對液位影響相較於壓差可忽略的加壓容器：

$v_2 = c\left(\frac{2(p_1 - p_2)}{\rho}\right)^{1/2}$

減壓閥的能量損失

若節流閥前後的速度與高程變化很小，單位質量的機械能損失為：

$\frac{p_1}{\rho} = \frac{p_2}{\rho} + E_{loss}$

$E_{loss} = \frac{p_1 - p_2}{\rho}$

單位換算器

還原的原始來源表

原始來源頁面在搜尋框與版面列等共用網站控制項周圍含有表格標記，但本文並沒有獨立的工程資料表。這些區段的完整工程內容已由上方的公式、說明文字、計算器與保留的來源圖片呈現。

原始源圖

以下保留原始來源圖片，以免遺失視覺參考資料。若圖片包含圖表或表格資料，其擷取數值會呈現在本頁的表格、計算器或互動圖表中；其餘圖片則保留作為視覺來源參考。

伯努利方程式

互動式伯努利圖資料

工程要點

• 理想化假設：標準方程式假設流體沿流線作穩定、不可壓縮且無黏性的流動。真實流體會產生黏性損失（摩擦），因此須使用包含水頭損失項的延伸形式。
• 可壓縮性：當流動的馬赫數超過約 0.3（Ma > 0.3）時，可壓縮效應會變得顯著，不可壓縮的伯努利方程式便不再適用。
• 應用與限制：此原理可解釋升力與 Venturi 效應等現象，但若未加入或移除能量，便不能跨流線套用，也不能直接套用於泵浦或渦輪等機械。
• 管流：在管路系統的工程實務中，伯努利方程式通常會與 Darcy-Weisbach 方程式搭配使用，以計入摩擦水頭損失。

參考資料

• 原始來源