截面慣性矩 — 常見截面

概述

截面慣性矩（亦稱面積二次矩）是描述截面抵抗彎曲能力的幾何性質。它只取決於形狀與尺寸，與材料無關。

慣性矩越大，梁的剛性越高，承受荷重時越能抵抗撓曲與應力。工程師在梁設計、柱尺寸選定、橋梁分析，以及任何重視抗彎剛度的應用中都會使用此性質。

原始頁面將本頁標示為截面慣性矩 — 典型截面 II，並連回典型截面的截面慣性矩 I，以提供另一組標準截面公式。

關鍵公式

彎曲公式 — 說明彎曲應力與慣性矩的關係：

$\sigma = \frac{M \cdot y}{I}$

平行軸定理 — 將慣性矩移轉至任一平行軸：

$I = I_{centroid} + A \cdot d^2$

彈性截面模數 — 說明慣性矩與最外緣纖維應力的關係：

$S = \frac{I}{c}$

簡支梁承受均佈荷重時的最大撓度：

$\delta_{max} = \frac{5 \cdot w \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I}$

變量

常見截面公式

等邊角鋼

對兩邊長度均為 $h$、厚度均勻為 $t$ 的 L 形截面：

$I_x = \frac{1}{3}\left[2c^4 - 2(c - t)^4 + t\left(h - 2c + \frac{1}{2}t\right)^3\right]$

其形心偏移量為：

$c = y_t \cos(45°), \qquad y_t = \frac{h^2 + ht + t^2}{2(2h - t)\cos(45°)}$

不等邊角鋼

對高度為 $h$、寬度為 $b$、厚度為 $t$ 的 L 形截面：

$I_x = \frac{1}{3}\left[t(h - y_d)^3 + b\,y_d^3 - b_1(y_d - t)^3\right]$

$I_y = \frac{1}{3}\left[t(b - x_d)^3 + h\,x_d^3 - h_1(x_d - t)^3\right]$

形心距離為：

$x_d = \frac{b^2 + h_1\,t}{2(b + h_1)}, \qquad y_d = \frac{h^2 + b_1\,t}{2(h + b_1)}$

其中，$b_1 = b - t$，$h_1 = h - t$。

三角形

對底為 $b$、高為 $h$ 的一般三角形：

$I_x = \frac{b\,h^3}{36}, \qquad I_y = \frac{h\,b\,(b^2 - b_a\,b_c)}{36}$

對直角三角形（90° 角），公式可簡化為：

$I_x = \frac{b\,h^3}{36}, \qquad I_y = \frac{h\,b^3}{36}$

單位換算器

原始源圖

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來源表格說明

快取的來源頁面除截面公式與圖示外，還包含一個非工程資料的搜尋／導覽表格。為嚴格保留來源，偵測到的介面／搜尋資料列重現於下方；這些並非截面慣性矩資料。

工程要點

• 與材料無關。 截面慣性矩是純粹的幾何性質。不同材料但截面相同的兩根梁具有相同的 I。
• 將材料配置在遠離形心處。 相較於外形尺寸相同的實心截面，空心截面（管材、I 型梁、槽鋼）能以較少材料達到較高的 I。
• 強軸與弱軸。 多數截面的 $I_x$ 與 $I_y$ 不同，設計時必須檢查繞兩軸的彎曲。
• 平行軸定理對組合截面至關重要。 將截面拆分為簡單形狀，計算各部分通過形心軸的 I，再移轉至共同軸。
• 單位。 SI 制的慣性矩以 mm⁴ 或 m⁴ 表示，常見鋼材表則使用 cm⁴。代入應力或撓度方程式前，務必確認單位一致。
• 標準表格。 熱軋鋼型材（W、S、C、L、HSS）應查閱 AISC 或製造商資料，不宜手動計算 I。

參考資料

• Engineering ToolBox — 截面慣性矩
• Gere, J.M. Mechanics of Materials, Cengage Learning.