Уравнение Бернулли и его применение

Обзор

Уравнение Бернулли является фундаментальным принципом в механике жидкости, описывающим сохранение энергии для стационарной, несжимаемой и невязкой жидкости, текущей вдоль линии тока. Оно связывает статическое давление жидкости, кинетическую энергию на единицу объёма и потенциальную энергию на единицу объёма.

Основные формулы

Уравнение Бернулли утверждает, что сумма энергии давления, кинетической энергии и потенциальной энергии постоянна вдоль линии тока:

$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$

Для сравнения двух различных точек (1 и 2) на одной линии тока уравнение записывается в стандартной двухточечной форме:

$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

Энергетическая форма

На оригинальной странице Engineering ToolBox уравнение Бернулли представлено как сохранение энергии на единицу массы:

$E = \frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + g h_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + g h_2 - E_{loss} = constant$

где $E$ — энергия на единицу массы, $p$ — давление, $\rho$ — плотность жидкости, $v$ — скорость, $g$ — ускорение свободного падения, $h$ — высота, а $E_{loss}$ — потеря механической энергии на единицу массы. В имперских расчётах помните, что $1\ psi = 144\ psf$.

Форма напора

Деление на ускорение свободного падения даёт уравнение Бернулли в единицах напора:

$h = \frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + h_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + h_2 - \frac{E_{loss}}{g}$

где $\gamma = \rho g$. Напор давления всегда зависит от плотности текущей жидкости; для давления скорости воздуха значения водяного столба обычно рассчитываются отдельно от плотности воздуха.

Динамическое давление

Если изменение высоты и потери пренебрежимо малы, уравнение Бернулли можно записать в форме суммы статического и динамического давлений:

$p = p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} - p_{loss} = p_1 + p_{d1} = p_2 + p_{d2} - p_{loss}$

Динамическое давление:

$p_d = \frac{1}{2}\rho v^2$

Это основа для измерения скорости с помощью трубок Пито и для изменения давления в сечениях Вентури.

Переменные

Калькулятор

Вытекание из резервуара под давлением

Для потока из бака или резервуара под давлением через выходное отверстие исходная страница перестраивает уравнение Бернулли для оценки скорости на выходе:

$v_2 = \left[\frac{2}{1 - A_2^2/A_1^2}\left(g h + \frac{p_1 - p_2}{\rho}\right)\right]^{1/2}$

Для вентилируемого бака с большой свободной поверхностью $A_2/A_1$ мало и $p_1 = p_2$, поэтому выражение сводится к уравнению Торричелли:

$v_2 = (2gh)^{1/2}$

С коэффициентом расхода $c$ практическая скорость на выходе составляет:

$v_2 = c(2gh)^{1/2}$

Для резервуара под давлением, где уровень жидкости пренебрежимо мал по сравнению с перепадом давления:

$v_2 = c\left(\frac{2(p_1 - p_2)}{\rho}\right)^{1/2}$

Потери энергии в редукционном клапане

Если изменения скорости и высоты на клапане дросселирования невелики, удельные потери механической энергии составляют:

$\frac{p_1}{\rho} = \frac{p_2}{\rho} + E_{loss}$

$E_{loss} = \frac{p_1 - p_2}{\rho}$

Конвертер единиц

Восстановленные исходные таблицы

Исходная страница-источник содержит табличную разметку вокруг общих элементов управления сайта, таких как окна поиска и строки макета, но не содержит отдельной таблицы инженерных данных для этой статьи. Полное инженерное содержание этих разделов представлено выше в виде формул, пояснительного текста, калькуляторов и сохранённых исходных изображений.

Исходные изображения

Следующие исходные изображения сохранены, чтобы избежать потери визуального справочного материала. Когда изображение содержит график или табличные данные, извлечённые значения представлены в таблицах страницы, калькуляторах или интерактивных графиках; остальные изображения сохранены в качестве визуальных справочных источников.

Уравнение Бернулли

Интерактивные данные диаграммы Бернулли

Инженерные заметки

• Идеализации: Стандартное уравнение предполагает установившееся, несжимаемое, невязкое течение вдоль линии тока. Реальные жидкости испытывают вязкие потери (трение), что требует расширенной формы, включающей член потерь напора.
• Сжимаемость: Для течений, где число Маха превышает приблизительно 0.3 (Ma > 0.3), эффекты сжимаемости становятся значительными, и уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости недействительно.
• Применения и оговорки: Хотя принцип объясняет такие явления, как создание подъемной силы и эффект Вентури, его нельзя применять поперек линий тока или через такие машины, как насосы или турбины, без добавления или удаления энергии.
• Течение в трубах: В практической инженерии для трубных систем уравнение Бернулли обычно комбинируется с уравнением Дарси-Вейсбаха для учета потерь напора на трение.

Источники

• Исходный источник