Момент инерции площади — типовые сечения

Обзор

Момент инерции площади (также называемый второй момент площади) — это геометрическая характеристика поперечного сечения, описывающая его сопротивление изгибу. Он зависит исключительно от формы и размеров — не от материала.

Больший момент инерции означает более жёсткую балку, более устойчивую к прогибу и напряжениям под нагрузкой. Инженеры используют его при проектировании балок, подборе размеров колонн, анализе мостов и в любых приложениях, где важна изгибная жёсткость.

Оригинальная страница обозначает это как Момент инерции площади — Типичные поперечные сечения II и ссылается на Момент инерции площади для типичных поперечных сечений I для комплекта стандартных формул поперечных сечений.

Основные формулы

Формула изгиба — связывает напряжение изгиба с моментом инерции:

$\sigma = \frac{M \cdot y}{I}$

Теорема Штейнера — переносит момент инерции на любую параллельную ось:

$I = I_{centroid} + A \cdot d^2$

Упругий момент сопротивления — связывает момент инерции с напряжением в крайних волокнах:

$S = \frac{I}{c}$

Максимальный прогиб равномерно нагружённой шарнирно-опёртой балки:

$\delta_{max} = \frac{5 \cdot w \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I}$

Переменные

Формулы для распространённых поперечных сечений

Уголок с равными полками

Для уголка с равной длиной полки $h$ и равномерной толщиной $t$:

$I_x = \frac{1}{3}\left[2c^4 - 2(c - t)^4 + t\left(h - 2c + \frac{1}{2}t\right)^3\right]$

где смещение центроида составляет:

$c = y_t \cos(45°), \qquad y_t = \frac{h^2 + ht + t^2}{2(2h - t)\cos(45°)}$

Уголок с неравными полками

Для уголка с высотой $h$, шириной $b$ и толщиной $t$:

$I_x = \frac{1}{3}\left[t(h - y_d)^3 + b\,y_d^3 - b_1(y_d - t)^3\right]$

$I_y = \frac{1}{3}\left[t(b - x_d)^3 + h\,x_d^3 - h_1(x_d - t)^3\right]$

Расстояния до центроида составляют:

$x_d = \frac{b^2 + h_1\,t}{2(b + h_1)}, \qquad y_d = \frac{h^2 + b_1\,t}{2(h + b_1)}$

где $b_1 = b - t$ и $h_1 = h - t$.

Треугольник

Для общего треугольника с основанием $b$ и высотой $h$:

$I_x = \frac{b\,h^3}{36}, \qquad I_y = \frac{h\,b\,(b^2 - b_a\,b_c)}{36}$

Для прямоугольного треугольника (угол 90°) это упрощается до:

$I_x = \frac{b\,h^3}{36}, \qquad I_y = \frac{h\,b^3}{36}$

Конвертер единиц

Оригинальные исходные изображения

Следующие оригинальные исходные изображения сохранены, чтобы избежать потери визуального справочного материала. Когда изображение содержит диаграмму или табличные данные, извлечённые значения представлены в таблицах страницы, калькуляторах или интерактивных диаграммах; остальные изображения сохраняются в качестве визуальных справочных источников.

Примечание к исходной таблице

Кешированная исходная страница содержит поисковую/навигационную таблицу, не относящуюся к инженерным данным, помимо формул и схем поперечных сечений. Для строгого сохранения исходного материала обнаруженные строки интерфейса/поиска воспроизведены ниже; они не являются данными о моменте инерции площади.

Инженерные заметки

• Независимость от материала. Момент инерции площади является чисто геометрической характеристикой. Две балки из разных материалов, но с одинаковым поперечным сечением, имеют одинаковый I.
• Распределение материала вдали от центра тяжести. Полые сечения (трубы, двутавры, швеллеры) обеспечивают высокий I при меньшем расходе материала по сравнению со сплошными сечениями тех же внешних размеров.
• Сильная и слабая оси. Большинство сечений имеют различные $I_x$ и $I_y$. Проектировщики должны проверять изгиб вокруг обеих осей.
• Теорема Штейнера необходима для составных сечений. Разбейте поперечное сечение на простые геометрические фигуры, вычислите центроидный I каждой, затем перенесите на общую ось.
• Единицы измерения. В системе СИ момент инерции выражается в мм⁴ или м⁴. В стандартных таблицах стальных профилей используются см⁴. Всегда проверяйте согласованность единиц перед подстановкой в уравнения напряжений или прогибов.
• Стандартные таблицы. Для горячекатаных стальных профилей (W, S, C, L, HSS) обращайтесь к справочникам AISC или данным производителей, а не вычисляйте I вручную.

Источники

• Engineering ToolBox — Момент инерции площади
• Gere, J.M. Механика материалов, Cengage Learning.