베르누이 방정식과 응용

개요

베르누이 방정식은 유체 역학의 기본 원리로, 유선을 따라 흐르는 정상, 비압축성, 비점성 유체의 에너지 보존을 설명합니다. 유체의 정압, 단위 부피당 운동 에너지, 단위 부피당 위치 에너지를 연결합니다.

주요 공식

베르누이 방정식은 압력 에너지, 운동 에너지, 위치 에너지의 합이 유선을 따라 일정하다고 말합니다:

$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$

동일한 유선의 두 개별 지점(1과 2)을 비교하기 위해 방정식은 표준 2지점 형태로 작성됩니다:

$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

에너지 형태

원본 Engineering ToolBox 페이지는 베르누이 방정식을 단위 질량당 에너지 보존으로 제시합니다:

$E = \frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + g h_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + g h_2 - E_{loss} = constant$

여기서 $E$는 단위 질량당 에너지, $p$는 압력, $\rho$는 유체 밀도, $v$는 속도, $g$는 중력 가속도, $h$는 고도, $E_{loss}$는 단위 질량당 기계적 에너지 손실입니다. 야드파운드법 계산에서 $1\ psi = 144\ psf$임을 기억하세요.

수두 형태

중력으로 나누면 수두 단위의 베르누이 방정식이 됩니다:

$h = \frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + h_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + h_2 - \frac{E_{loss}}{g}$

$\gamma = \rho g$와 함께. 압력 수두는 항상 흐르는 유체의 밀도에 의존합니다. 공기 속도 압력의 경우 수주 값은 일반적으로 공기 밀도와 별도로 계산됩니다.

동압

고도 변화와 손실이 무시할 수 있는 경우 베르누이 방정식은 정압 + 동압 형태로 작성될 수 있습니다:

$p = p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} - p_{loss} = p_1 + p_{d1} = p_2 + p_{d2} - p_{loss}$

동압은:

$p_d = \frac{1}{2}\rho v^2$

이것은 피토 튜브를 사용한 속도 측정과 벤투리 단면의 압력 변화의 기초입니다.

변수

계산기

압력 용기에서의 배출

탱크 또는 압력 용기에서 출구를 통한 흐름의 경우 원본 페이지는 베르누이 방정식을 재배열하여 출구 속도를 추정합니다:

$v_2 = \left[\frac{2}{1 - A_2^2/A_1^2}\left(g h + \frac{p_1 - p_2}{\rho}\right)\right]^{1/2}$

통기 탱크에 큰 자유 표면이 있는 경우 $A_2/A_1$이 작고 $p_1 = p_2$이므로 식은 토리첼리 방정식으로 줄어듭니다:

$v_2 = (2gh)^{1/2}$

배출 계수 $c$를 사용한 실용적인 출구 속도는:

$v_2 = c(2gh)^{1/2}$

액체 레벨이 압력 차이에 비해 무시할 수 있는 가압 용기의 경우:

$v_2 = c\left(\frac{2(p_1 - p_2)}{\rho}\right)^{1/2}$

감압 밸브를 통한 에너지 손실

교축 밸브에서 속도와 고도 변화가 작은 경우 단위 질량당 기계적 에너지 손실은:

$\frac{p_1}{\rho} = \frac{p_2}{\rho} + E_{loss}$

$E_{loss} = \frac{p_1 - p_2}{\rho}$

단위 변환기

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베르누이 방정식

대화형 베르누이 다이어그램 데이터

공학 참고 사항

• 이상화: 표준 방정식은 유선을 따라 정상, 비압축성, 비점성 흐름을 가정합니다. 실제 유체는 점성 손실(마찰)을 경험하므로 수두 손실 항을 포함한 확장 형태가 필요합니다.
• 압축성: 마하 수가 약 0.3을 초과하는 흐름(Ma > 0.3)의 경우 압축성 효과가 중요해지며 비압축성 베르누이 방정식은 유효하지 않습니다.
• 응용 및 주의사항: 이 원리는 양력 생성과 벤투리 효과 같은 현상을 설명하지만, 에너지를 추가하거나 제거하지 않고는 유선을 가로지르거나 펌프나 터빈과 같은 기계를 통과하여 적용할 수 없습니다.
• 파이프 흐름: 파이프 시스템의 실용적인 공학에서 베르누이 방정식은 일반적으로 마찰 수두 손실을 설명하기 위해 Darcy-Weisbach 방정식과 결합됩니다.

참고 자료

• 원본 소스