コールブルックの式

概要

コールブルック方程式（コールブルック・ホワイト方程式とも呼ばれる）は、乱流管路流におけるダルシー・ワイスバッハ摩擦係数を計算するための標準的な陰関数関係です。粘性効果（レイノルズ数による）と表面粗さの両方を考慮し、ムーディー線図に示される滑らかな管路と完全に粗い管路の領域を橋渡しします。

摩擦係数が方程式の両辺に現れるため、代数的に解くことはできず、数値反復が必要です。

管、チューブ、ダクトにおける摩擦損失係数。

主要な公式

コールブルック方程式（陰関数形）

$\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\,\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re\,\sqrt{f}}\right)$

スワミ・ジェイン陽関数近似

$5\,000 \le Re \le 10^8$ および $10^{-6} \le \varepsilon/D \le 10^{-2}$ の範囲で有効な陽関数近似：

$f = \frac{0.25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\varepsilon/D}{3.7} + \dfrac{5.74}{Re^{0.9}}\right)\right]^2}$

この形は、反復ソルバーが利用できない場合のスプレッドシート計算やプログラミングに有用です。

圧力損失（ダルシー・ワイスバッハ）

$f$ が既知の場合、主要なヘッド損失は：

$h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2\,g}$

変数

一般的な管の粗さの値

リベット接合鋼の粗さ: 2 つの参照元では 0.9 mm と 3.0 mm が使用されています。これらは施工と状態に依存する参考値であり、普遍的な定数ではありません。設計ではプロジェクト固有の実測値または指定値を使用してください。

摩擦係数対レイノルズ数

以下のチャートは、Swamee–Jain 近似を使用して、相対粗度の3つのレベルについて摩擦係数がレイノルズ数とともにどのように変化するかを示します。

単位コンバーター

復元された元のソーステーブル

完全な参照データを保存するために、元のソースページから以下のテーブルが復元されました。

キャッシュされたソースページには、非エンジニアリングのレイアウト/検索テーブルも含まれています。厳密なソーステーブル保存のために、検出された行が以下に再現されており、摩擦係数データではありません。

元のソース画像

視覚的な参照資料を失わないように、以下の元のソース画像が保存されています。画像にチャートやテーブルデータが含まれている場合、その抽出値はページテーブル、計算機、またはインタラクティブチャートで表されます。残りの画像は視覚的なソース参照として保持されます。

ムーディー図チャート画像は、上記でSwamee-Jain近似から生成されたダシー摩擦係数曲線チャートによってインタラクティブに表されています。静的ソース画像は視覚的な参照として以下に保持されます。

ムーディー図 SI

エンジニアリングノート

• 乱流のみ。 コールブルック方程式は乱流領域（$Re \gtrsim 4\,000$）でのみ有効です。層流（$Re < 2\,300$）では、$f = 64/Re$ を使用してください。
• 層流時の摩擦係数。 ここで元のソースノートが保存されています：完全に層流の管流では、摩擦係数は直接 $\lambda = 64/Re$ として計算されます。
• 反復が必要です。 $f$ が両側に現れるため、直接解は不可能です。一般的な数値的手法には、ニュートン・ラフソン法、固定点反復、または上記に示されたSwamee-Jain近似が含まれます。
• 遷移域の注意。 遷移粗さ領域（$2\,300 < Re < 4\,000$）では、流れの状態は不確実で、摩擦係数の予測にはより高い不確実性が伴います。
• 非円形ダクトの水力直径。 矩形または非円形断面に適用する場合、$D$ を水力直径 $D_h = 4A/P$ で置き換えてください。ここで $A$ は流れ面積、$P$ は潤辺です。
• 粗さの経年変化。 上記のテーブルの粗さ値は新品/清浄な状態を表しています。時間の経過とともに、腐食、スケーリング、およびバイオファウリングにより $\varepsilon$ が大幅に増加し、摩擦係数と圧力降下が上昇します。新品管の状態より1ランク高い粗さ値で設計することが一般的です。
• ムーディー図の代替案。 摩擦係数は、ムーディー図からグラフ的にも読み取ることができます。これは、一定の相対粗さ $\varepsilon/D$ の線に対して $f$ を $Re$ に対してプロットします。

参考文献

• コールブルック方程式 — Engineering ToolBox