ベルヌーイの定理とその応用

概要

ベルヌーイ方程式は、流体力学における基本原理で、流線に沿って流れる定常、非圧縮性、非粘性流体のエネルギー保存則を記述する。これは、流体の静圧、体積当たりの運動エネルギー、および体積当たりの位置エネルギーを関連付ける。

主要な式

ベルヌーイ方程式は、圧力エネルギー、運動エネルギー、および位置エネルギーの和が流線に沿って一定であると述べている：

$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$

同じ流線上の2つの異なる点（1と2）を比較するために、方程式は標準的な二点形式で書かれている：

$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

エネルギー形式

元のEngineering ToolBoxページでは、ベルヌーイの式を質量当たりのエネルギー保存として示している：

$E = \frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + g h_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + g h_2 - E_{loss} = constant$

ここで、$E$ は質量当たりのエネルギー、$p$ は圧力、$\rho$ は流体密度、$v$ は速度、$g$ は重力加速度、$h$ は標高、$E_{loss}$ は質量当たりの機械的エネルギー損失である。帝国単位での計算では、$1\ psi = 144\ psf$ であることを覚えておいてください。

ヘッド形式

重力で割ると、ベルヌーイ方程式はヘッド単位で表される：

$h = \frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + h_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + h_2 - \frac{E_{loss}}{g}$

ここで $\gamma = \rho g$ である。圧力ヘッドは常に流体の密度に依存する。空気速度圧力については、水柱値は通常、空気密度とは別に計算される。

動圧

標高の変化と損失が無視できる場合、ベルヌーイ方程式は静圧と動圧の形式で書くことができる：

$p = p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} - p_{loss} = p_1 + p_{d1} = p_2 + p_{d2} - p_{loss}$

動圧は以下である：

$p_d = \frac{1}{2}\rho v^2$

これは、ピトー管による速度測定やベンチュリセクションでの圧力変化の基礎となる。

変数

計算機

圧力容器からの流出

タンクまたは圧力容器から出口を通じて流れる場合、元のページではベルヌーイの式を変形して出口速度を推定しています：

$v_2 = \left[\frac{2}{1 - A_2^2/A_1^2}\left(g h + \frac{p_1 - p_2}{\rho}\right)\right]^{1/2}$

大きな自由表面を持つ通気付きタンクの場合、$A_2/A_1$ は小さく $p_1 = p_2$ であるため、式はトリチェリの式に簡約されます：

$v_2 = (2gh)^{1/2}$

流量係数 $c$ を用いると、実用的な出口速度は：

$v_2 = c(2gh)^{1/2}$

圧力差に比べて液面高さが無視できる加圧容器の場合：

$v_2 = c\left(\frac{2(p_1 - p_2)}{\rho}\right)^{1/2}$

減圧弁によるエネルギー損失

速度と高さの変化がスロットルバルブを横切って小さい場合、単位質量あたりの機械的エネルギー損失は：

$\frac{p_1}{\rho} = \frac{p_2}{\rho} + E_{loss}$

$E_{loss} = \frac{p_1 - p_2}{\rho}$

単位変換器

復元された元のソーステーブル

元のソースページには、検索ボックスやレイアウト行などの共有サイト制御を囲むテーブルマークアップが含まれていますが、この記事用の別個のエンジニアリングデータテーブルは含まれていません。それらのセクションからの完全なエンジニアリングコンテンツは、上記の数式、説明テキスト、計算機、および保持されたソース画像として表されています。

元のソース画像

以下の元のソース画像は、視覚的参照資料を失わないように保存されています。画像にチャートまたは表データが含まれている場合、その抽出された値はページテーブル、計算機、またはインタラクティブチャートで表されています。残りの画像は視覚的ソース参照として保持されています。

ベルヌーイ方程式

インタラクティブなベルヌーイダイアグラムデータ

エンジニアリングノート

• 理想化: 標準方程式は、流線に沿った定常、非圧縮性、非粘性流れを仮定します。実際の流体は粘性損失（摩擦）を経験するため、水頭損失項を含む拡張形式が必要です。
• 圧縮性: マッハ数が約0.3を超える流れ（Ma > 0.3）では、圧縮性効果が顕著になり、非圧縮性ベルヌーイ方程式は無効です。
• 応用と注意点: この原理は揚力発生やベンチュリ効果などの現象を説明しますが、エネルギーの追加や除去なしに、流線を横切ったり、ポンプやタービンなどの機械を通過したりする際には適用できません。
• 管流れ: 管システムの実用工学では、ベルヌーイ方程式は通常、摩擦水頭損失を考慮するためにダルシー・ワイスバッハ方程式と組み合わせて使用されます。

参考文献

• 元のソース