Équation de Bernoulli et applications

Aperçu

L'équation de Bernoulli est un principe fondamental en mécanique des fluides qui décrit la conservation de l'énergie pour un fluide stationnaire, incompressible et non visqueux s'écoulant le long d'une ligne de courant. Elle relie la pression statique du fluide, l'énergie cinétique par unité de volume et l'énergie potentielle par unité de volume.

Formules clés

L'équation de Bernoulli stipule que la somme de l'énergie de pression, de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est constante le long d'une ligne de courant :

$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$

Pour comparer deux points distincts (1 et 2) sur la même ligne de courant, l'équation est écrite sous sa forme standard à deux points :

$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

Forme énergétique

La page originale de l'Engineering ToolBox présente l'équation de Bernoulli comme la conservation de l'énergie par unité de masse :

$E = \frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + g h_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + g h_2 - E_{loss} = constant$

où $E$ est l'énergie par unité de masse, $p$ est la pression, $\rho$ est la masse volumique du fluide, $v$ est la vitesse, $g$ est l'accélération de la pesanteur, $h$ est l'élévation et $E_{loss}$ est la perte d'énergie mécanique par unité de masse. Dans les calculs impériaux, n'oubliez pas que $1\ psi = 144\ psf$.

Forme en charge

En divisant par la gravité, on obtient l'équation de Bernoulli en unités de charge :

$h = \frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + h_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + h_2 - \frac{E_{loss}}{g}$

avec $\gamma = \rho g$. Une pression de charge dépend toujours de la masse volumique du fluide en écoulement ; pour la pression dynamique de l'air, les valeurs en colonne d'eau sont généralement calculées séparément à partir de la masse volumique de l'air.

Pression dynamique

Si la variation d'élévation et les pertes sont négligeables, l'équation de Bernoulli peut être écrite sous la forme pression statique plus pression dynamique :

$p = p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} - p_{loss} = p_1 + p_{d1} = p_2 + p_{d2} - p_{loss}$

La pression dynamique est :

$p_d = \frac{1}{2}\rho v^2$

C'est la base de la mesure de vitesse avec les tubes de Pitot et des variations de pression dans les sections de Venturi.

Variables

Calculateur

Décharge à partir d'un réservoir sous pression

Pour l'écoulement à partir d'un réservoir ou d'un réservoir sous pression à travers une sortie, la page d'origine réarrange l'équation de Bernoulli pour estimer la vitesse de sortie :

$v_2 = \left[\frac{2}{1 - A_2^2/A_1^2}\left(g h + \frac{p_1 - p_2}{\rho}\right)\right]^{1/2}$

Pour un réservoir ventilé avec une grande surface libre, $A_2/A_1$ est petit et $p_1 = p_2$, donc l'expression se réduit à l'équation de Torricelli :

$v_2 = (2gh)^{1/2}$

Avec un coefficient de décharge $c$, la vitesse de sortie pratique est :

$v_2 = c(2gh)^{1/2}$

Pour un réservoir pressurisé où le niveau de liquide est négligeable par rapport à la différence de pression :

$v_2 = c\left(\frac{2(p_1 - p_2)}{\rho}\right)^{1/2}$

Perte d'énergie à travers une vanne de réduction

Si les changements de vitesse et d'élévation sont faibles à travers une vanne d'étranglement, la perte d'énergie mécanique par unité de masse est :

$\frac{p_1}{\rho} = \frac{p_2}{\rho} + E_{loss}$

$E_{loss} = \frac{p_1 - p_2}{\rho}$

Convertisseur d'unités

Tableaux sources originaux restaurés

La page source originale inclut des balises de tableau autour des contrôles de site partagés tels que les boîtes de recherche et les lignes de mise en page, mais elle ne contient pas de tableau de données d'ingénierie séparé pour cet article. Le contenu complet d'ingénierie de ces sections est représenté ci-dessus sous forme de formules, de texte explicatif, de calculateurs et d'images sources préservées.

Images sources originales

Les images sources originales suivantes sont préservées pour éviter de perdre du matériel de référence visuel. Lorsqu'une image contient des données graphiques ou tabulaires, ses valeurs extraites sont représentées dans les tableaux de page, calculateurs ou graphiques interactifs ; les images restantes sont conservées comme références visuelles sources.

Équation de Bernoulli

Données interactives du diagramme de Bernoulli

Notes d'ingénierie

• Idéalisations : L'équation standard suppose un écoulement stationnaire, incompressible et non visqueux le long d'une ligne de courant. Les fluides réels subissent des pertes visqueuses (frottement), nécessitant une forme étendue incluant un terme de perte de charge.
• Compressibilité : Pour les écoulements où le nombre de Mach dépasse environ 0.3 (Ma > 0.3), les effets de compressibilité deviennent significatifs, et l'équation de Bernoulli incompressible est invalide.
• Applications et mises en garde : Bien que le principe explique des phénomènes tels que la génération de portance et l'effet Venturi, il ne peut être appliqué à travers les lignes de courant ou à travers des machines comme les pompes ou les turbines sans ajouter ou retirer de l'énergie.
• Écoulement en tuyauterie : Dans l'ingénierie pratique pour les systèmes de tuyauterie, l'équation de Bernoulli est généralement combinée avec l'équation de Darcy-Weisbach pour tenir compte de la perte de charge due aux frottements.

Références

• Source originale