Bernoulli-Gleichung und Anwendungen

Übersicht

Die Bernoulli-Gleichung ist ein grundlegendes Prinzip in der Strömungsmechanik, das die Energieerhaltung für eine stationäre, inkompressible und reibungsfreie Flüssigkeit entlang einer Stromlinie beschreibt. Sie verbindet den statischen Druck, die kinetische Energie pro Volumeneinheit und die potentielle Energie pro Volumeneinheit der Flüssigkeit.

Wichtige Formeln

Die Bernoulli-Gleichung besagt, dass die Summe aus Druckenergie, kinetischer Energie und potentieller Energie entlang einer Stromlinie konstant ist:

$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$

Zum Vergleich zweier unterschiedlicher Punkte (1 und 2) auf derselben Stromlinie wird die Gleichung in ihrer Standard-Zwei-Punkte-Form geschrieben:

$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$

Energieform

Die ursprüngliche Engineering-ToolBox-Seite stellt die Bernoulli-Gleichung als Energieerhaltung pro Masseneinheit dar:

$E = \frac{p_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + g h_1 = \frac{p_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + g h_2 - E_{loss} = constant$

wobei $E$ die Energie pro Masseneinheit ist, $p$ der Druck, $\rho$ die Flüssigkeitsdichte, $v$ die Geschwindigkeit, $g$ die Erdbeschleunigung, $h$ die Höhe und $E_{loss}$ der mechanische Energieverlust pro Masseneinheit. Bei Imperial-Berechnungen beachten Sie, dass $1\ psi = 144\ psf$.

Druckhöhenform

Durch Division durch die Erdbeschleunigung erhält man die Bernoulli-Gleichung in Druckhöheneinheiten:

$h = \frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + h_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + h_2 - \frac{E_{loss}}{g}$

mit $\gamma = \rho g$. Eine Druckhöhe hängt immer von der Dichte der strömenden Flüssigkeit ab; für Luftgeschwindigkeitsdruck werden Wassersäulenwerte in der Regel getrennt von der Luftdichte berechnet.

Dynamischer Druck

Wenn Höhenänderungen und Verluste vernachlässigbar sind, kann die Bernoulli-Gleichung in der Form von statischem plus dynamischem Druck geschrieben werden:

$p = p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2} - p_{loss} = p_1 + p_{d1} = p_2 + p_{d2} - p_{loss}$

Der dynamische Druck ist:

$p_d = \frac{1}{2}\rho v^2$

Dies ist die Grundlage für Geschwindigkeitsmessungen mit Pitot-Rohren und für Druckänderungen in Venturi-Abschnitten.

Variablen

Rechner

Ausfluss aus einem Druckbehälter

Für den Fluss aus einem Tank oder Druckbehälter durch einen Auslass ordnet die ursprüngliche Seite die Bernoulli-Gleichung um, um die Auslassgeschwindigkeit abzuschätzen:

$v_2 = \left[\frac{2}{1 - A_2^2/A_1^2}\left(g h + \frac{p_1 - p_2}{\rho}\right)\right]^{1/2}$

Für einen belüfteten Tank mit einer großen freien Oberfläche ist $A_2/A_1$ klein und $p_1 = p_2$, sodass der Ausdruck auf die Torricelli-Gleichung reduziert wird:

$v_2 = (2gh)^{1/2}$

Mit einem Ausflusskoeffizienten $c$ ist die praktische Auslassgeschwindigkeit:

$v_2 = c(2gh)^{1/2}$

Für einen unter Druck stehenden Behälter, bei dem der Flüssigkeitspegel im Vergleich zur Druckdifferenz vernachlässigbar ist:

$v_2 = c\left(\frac{2(p_1 - p_2)}{\rho}\right)^{1/2}$

Energieverlust durch ein Reduzierventil

Wenn Geschwindigkeits- und Höhenänderungen über ein Drosselventil klein sind, ist der mechanische Energieverlust pro Masseneinheit:

$\frac{p_1}{\rho} = \frac{p_2}{\rho} + E_{loss}$

$E_{loss} = \frac{p_1 - p_2}{\rho}$

Einheitenrechner

Wiederhergestellte Originalquellentabellen

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Originalquellenbilder

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Bernoulli-Gleichung

Interaktive Bernoulli-Diagrammdaten

Technische Hinweise

• Idealisierungen: Die Standardgleichung setzt eine stationäre, inkompressible, reibungsfreie Strömung entlang einer Stromlinie voraus. Reale Flüssigkeiten erfahren viskose Verluste (Reibung), was eine erweiterte Form erfordert, die einen Höhenverlustterm einschließt.
• Kompressibilität: Für Strömungen, bei denen die Machzahl ungefähr 0.3 übersteigt (Ma > 0.3), werden Kompressibilitätseffekte signifikant, und die inkompressible Bernoulli-Gleichung ist ungültig.
• Anwendungen & Einschränkungen: Während das Prinzip Phänomene wie Auftriebserzeugung und den Venturi-Effekt erklärt, kann es nicht über Stromlinien hinweg oder durch Maschinen wie Pumpen oder Turbinen angewendet werden, ohne Energie hinzuzufügen oder zu entfernen.
• Rohrströmung: In der praktischen Ingenieurtechnik für Rohrsysteme wird die Bernoulli-Gleichung in der Regel mit der Darcy-Weisbach-Gleichung kombiniert, um den Reibungshöhenverlust zu berücksichtigen.

Referenzen

• Originalquelle