Flächenträgheitsmoment — typische Querschnitte

Überblick

Das Flächenträgheitsmoment (auch zweites Flächenmoment genannt) ist eine geometrische Eigenschaft eines Querschnitts, die seinen Widerstand gegen Biegung beschreibt. Es hängt ausschließlich von Form und Abmessungen ab — nicht vom Material.

Ein größeres Trägheitsmoment bedeutet einen steiferen Balken, der widerstandsfähiger gegen Durchbiegung und Beanspruchung unter Last ist. Ingenieure verwenden es bei der Bemessung von Trägern, der Dimensionierung von Stützen, der Analyse von Brücken und bei jeder Anwendung, bei der die Biegesteifigkeit von Bedeutung ist.

Die Originalseite bezeichnet dies als Flächenträgheitsmoment - Typische Querschnitte II und verlinkt auf Flächenträgheitsmoment für typische Querschnitte I für die zugehörige Reihe von Standardquerschnittsformeln.

Wichtige Formeln

Biegeformel — setzt die Biegespannung zum Trägheitsmoment in Beziehung:

$\sigma = \frac{M \cdot y}{I}$

Steinerscher Satz — überträgt das Trägheitsmoment auf eine beliebige parallele Achse:

$I = I_{centroid} + A \cdot d^2$

Elastischer Widerstandsmoment — verbindet das Trägheitsmoment mit der Randfaser-Spannung:

$S = \frac{I}{c}$

Maximale Durchbiegung eines beidseitig gelagerten Balkens unter Gleichstreckenlast:

$\delta_{max} = \frac{5 \cdot w \cdot L^4}{384 \cdot E \cdot I}$

Variablen

Formeln für gängige Querschnitte

Winkel mit gleichen Schenkeln

Für einen L-Querschnitt mit gleicher Schenkellänge $h$ und gleichmäßiger Dicke $t$:

$I_x = \frac{1}{3}\left[2c^4 - 2(c - t)^4 + t\left(h - 2c + \frac{1}{2}t\right)^3\right]$

wobei der Schwerpunktversatz ist:

$c = y_t \cos(45°), \qquad y_t = \frac{h^2 + ht + t^2}{2(2h - t)\cos(45°)}$

Winkel mit ungleichen Schenkeln

Für einen L-Querschnitt mit Höhe $h$, Breite $b$ und Dicke $t$:

$I_x = \frac{1}{3}\left[t(h - y_d)^3 + b\,y_d^3 - b_1(y_d - t)^3\right]$

$I_y = \frac{1}{3}\left[t(b - x_d)^3 + h\,x_d^3 - h_1(x_d - t)^3\right]$

Die Schwerpunktabstände sind:

$x_d = \frac{b^2 + h_1\,t}{2(b + h_1)}, \qquad y_d = \frac{h^2 + b_1\,t}{2(h + b_1)}$

wobei $b_1 = b - t$ und $h_1 = h - t$.

Dreieck

Für ein allgemeines Dreieck mit Basis $b$ und Höhe $h$:

$I_x = \frac{b\,h^3}{36}, \qquad I_y = \frac{h\,b\,(b^2 - b_a\,b_c)}{36}$

Für ein rechtwinkliges Dreieck (90° Ecke) vereinfacht sich das zu:

$I_x = \frac{b\,h^3}{36}, \qquad I_y = \frac{h\,b^3}{36}$

Einheitenumrechner

Originalquellbilder

Die folgenden Originalquellbilder werden beibehalten, um den Verlust von visuellem Referenzmaterial zu vermeiden. Wenn ein Bild Diagramm- oder Tabellendaten enthält, werden die extrahierten Werte in den Seitentabellen, Rechnern oder interaktiven Diagrammen dargestellt; verbleibende Bilder werden als visuelle Quellreferenzen aufbewahrt.

Anmerkung zur Quelltabelle

Die zwischengespeicherte Quellseite enthält zusätzlich zu den Querschnittsformeln und Diagrammen eine nichttechnische Such-/Navigationstabelle. Zur strikten Quellenbewahrung werden die erkannten UI-/Suchzeilen unten wiedergegeben; es handelt sich nicht um Flächenträgheitsmoment-Daten.

Technische Hinweise

• Materialunabhängigkeit. Das Flächenträgheitsmoment ist rein geometrisch. Zwei Träger aus unterschiedlichen Materialien, aber identischen Querschnitten besitzen dasselbe I.
• Material vom Schwerpunkt entfernt verteilen. Hohlprofile (Rohre, I-Träger, C-Profile) erreichen ein hohes I mit weniger Material als Vollquerschnitte gleicher Gesamtabmessung.
• Starke vs. schwache Achse. Die meisten Profile haben unterschiedliche $I_x$ und $I_y$. Konstrukteure müssen die Biegung um beide Achsen überprüfen.
• Der Satz von Steiner (Parallelachsensatz) ist unverzichtbar für zusammengesetzte Querschnitte. Den Querschnitt in einfache Formen zerlegen, jeweils das Schwerpunkt-I berechnen und dann auf die gemeinsame Achse übertragen.
• Einheiten. Im SI-System wird das Trägheitsmoment in mm⁴ oder m⁴ angegeben. Gängige Stahltabellen verwenden cm⁴. Die Einheitenkonsistenz sollte stets überprüft werden, bevor man das Trägheitsmoment mit Spannungs- oder Durchbiegungsgleichungen kombiniert.
• Normtabellen. Für warmgewalzte Stahlprofile (W, S, C, L, HSS) sollte man auf AISC- oder Herstellerdaten zurückgreifen, anstatt I manuell zu berechnen.

Referenzen

• Engineering ToolBox — Flächenträgheitsmoment
• Gere, J.M. Mechanics of Materials, Cengage Learning.